Đề thi học sinh giỏi cấp truờng
năm học 2013 - 2014
môn: Toán 7
(Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề)



Bài 1: (1 điểm)
Thực hiện phép tính:
a)

b)

Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm x; y; z biết:
a) 2009 –
= x
b)

c) (x-7)x+1 –(x-7)x+11 = 0
Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm a , b , c Biết: 3a = 2b ; 4b = 5c và - a - b + c = - 52 .


Bài 4 (1,5 đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =

Khi đó x nhận giá trị nguyên nào
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho CI = CA.
Câu 1: Chứng minh:
a)

b) AB + AC < AD + AE
Câu 2: Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự tại M; N. Chứng minh BM = CN.
Câu 3: Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.








Đáp án Đề thi HSG môn Toán 7
Bài 1: 1 điểm
Câu a: o,5 điểm (kết quả = 0).
Câu b: 2 điểm




Bài 2: 3 điểm
Câu a: 2 điểm
- Nếu x
2009
2009 – x + 2009 = x
2.2009 = 2x
x = 2009
- Nếu x < 2009
2009 – 2009 + x = x
0 = 0
Vậy với
x < 2009 đều thoả mãn.
- Kết luận : với x
2009 thì

Hoặc cách 2:

Câu b: 1,5 điểm

;
;

Bài 3: 2 điểm


áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:




Vậy

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Bài 4: 1 điểm
Theo đề bài
2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ.
Nếu a
0
2008a + 2008a là số chẵn
để 2008a + 2008a + b lẻ
b lẻ
Nếu b lẻ
3b + 1 chẵn do đó
2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn)
Vậy a = 0
Với a = 0
(3b + 1)(b + 1) = 225
Vì b
N
(3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25
3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1


Vậy a = 0 ; b = 8
. Bài 5: 3 điểm
/
Câu 1: mỗi câu cho 1,5 điểm
Câu a: Chứng minh ∆𝐴𝐵𝐷= ∆𝐼𝐶𝐸( 𝑐.𝑔.𝑐)
Câu b: có AB + AC = AI
∆𝐴𝐵𝐷= ∆𝐼𝐶𝐸( 𝑐.𝑔.𝑐) =>AD=EI (2 cạnh t/ư)
áp dụng bất đẳng thức tam giác trong ∆𝐴𝐸𝐼 có:
AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC
Câu 2: 1,5 điểm
Chứng minh v∆ BDM = ∆vCEN (gcg)

BM = CN
Câu 3: 2,5 điểm
Vì BM = CN
AB + AC = AM + AN (1)
có BD = CE (gt)
BC = DE
Gọi giao điểm của MN với BC là O ta có:


Từ (1) và (2)